网上难题探讨——复合交错的手拉手模型

原创九叔数学实验室2021-03-03 10:06:17

图1是@高老师数学课堂分享出来征求解答的一道难题：

图1：题目

这道题是等腰直角三角形内接的正方形的问题。我猜想可能不少人和我一样，也是考虑把这道题拆分成“手拉手”模型来求解吧？

高老师，征求解答的问题是如何证明LE=CE，我也觉得这是解算这道难题的关键，因此，我们先来证明这个结论。

要证明这个结论还不能直接从LE、EC着手，而需要从AO、OL着手。我们可以按图2所示，构造一对相似的直角三角形GOL和HLV，并可以证明它们对应边的相似比是根号2，这样就可以证明OG正好等于AL的一半，因此，从O点对AL做的垂线OK正好垂直平分AL，从而可以证明AOL是以AL为底边的等腰三角形，这样就证明AO＝OL。

图2:证明AO与OL相等

证明了,AO=OL后,我们可以再整体看看这个图形,我们可以发现A,B,L,O实际是C,A,L,E绕L点逆时针旋转90度得到的对应点,所以,我们可以证明AO=CE,BO=AE,CE垂直AO。（证明CE垂直AO更严谨一些的做法可以用四点共圆来证明）。如图3所示，通过仔细分析，我们可以发现：AEO三点连线正好构成一个直角三角形，这样，我们还可以发现C，E，O三点是共线的。

图3：证明CEO共线

CEO三点共线为我们构建了一个新的直角三角形ACO，这样就为我们构建了解决问题的方程式，如图4所示：

图4：解算正方形面积

我的解法实际是反复构建手拉手模型来解决问题的，但我对这个解法感觉还不是很满意，觉得还是有些繁琐。我相信应该还会有更简捷的解法，如果您有什么好主意，欢迎分享出来，大家一起学习，一起提高。