八年级下册：吃透这10道压轴题，学习不落下，考试轻松拿满分！

数学压轴题历来是考试中的“重头戏”，很多同学考试成绩和别人拉开的关键就在于最后的压轴题没有得到分，这对于考试来说是非常吃亏的。

初二数学是初中数学的关键期，同学们还是应该好好练习初二下册的数学压轴题，争取压轴题一分不丢。

今天，老师就为大家整理了10道经典压轴题，初二的同学一定要认真练习，吃透这份压轴题，学习不落下，考试轻松拿满分！家长也可以替孩子收藏打印。

例题1

古希腊数学家把数 1 ， 3 ， 6 ， 10 ，15 ， 21 ，...... 叫做三角形数，它有一定的规律性。若把第一个三角形数记为 a1 ，第二个三角形数记为 a2 ，......，第 n 个三角形数记为 an ，则 an + a(n+1) = ?

答案：（n + 1）^2 。

例题2

在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点 P（a , b）若规定以下三种变换 ：

① f（a , b）= （-a , b）， 如 f（2 , 5）= （-2 , 5）；

② g（a , b） = （b , a）, 如 g（2 , 5）= （5 , 2）；

③ h（a , b）= （-a , -b），如 h（2 , 5）= （-2 , -5） 。

根据以上变换，那么 f（h（5 ， -3））等于多少 ？

答案：（5,3）。

例题3

如图，已知等腰直角 △ABC 的直角边长为 1 ，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角边 ，画第二个等腰 Rt△ACD ，在以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边 ，画第三个等腰 Rt△ADE ， ... ， 依次类推到第五个等腰 Rt△AFG ，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积是多少 ？

答案：31/2 。

例题4

如图所示，直线 OP 经过点 P（4,4√3），过 x 轴上的点 1、3、5、7、9、11 ......分别作 x 轴的垂线，与直线 OP 相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为 S1 , S2 , S3 , ... , Sn , 则 Sn 关于 n 的函数关系式是 ？

答案：Sn = 4√3 （2n - 1） 。

例题5

现将 1、 √2、√3、√6 四个数按下列方式排列 。若规定 （m , n）表示第 m 排从左到右第 n 个数 ， 则 （5 ， 4）与（15 ， 7）表示的两数之积是多少？

答案：2√3 。

例题6

现将一块直角三角形的花圃进行改造，已知两直角边长分别为 6 m 、8 m 。若将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为直角边的直角三角形，那么扩建后的等腰三角形花圃的周长是多少 m ？

解：如图，在 Rt△ABC 中 ，∠ACB = 90° ，AC = 8 m, BC = 6 m,

由勾股定理得 ：AB = 10 m ，扩充部分为 Rt△ACD 。

扩充成等腰△ABD ，应分以下三种情况：

（1）如图 ① ，当 AB = AD = 10 m 时 ，可求得 CD = CB = 6 m ，

故 △ABD 的周长为 AB + AD + BD = 32 m ；

（2）如图 ② ，当 AB = BD = 10 m 时 ，可求得 CD = BD - BC = 4 ,

在 Rt△ACD 中 ，由勾股定理可得 AD = √（AC^2 + CD^2）= 4√5 ,

故 △ABD 的周长为 AB + BD + AD = (20 + 4√5) m ；

（3）如图 ③ ，当 AB 为底时 ，设 AD = BD = x ，则 CD = x - 6 ,

在 Rt△ACD 中 ，由勾股定理可得 AC^2 + CD^2 = AD^2 ,

所以 8^2 + （x - 6）^2 = x^2 , 解得：x = 25/3 ,

故 △ABD 的周长为 AB + BD + AD = 80/3 m 。

例题7

仔细观察下表后，请回答下列问题：

① 当正数 x 的值逐渐增大时，x 的算术平方根有什么变化规律？

② 正数 n 的算术平方根与它本身有怎样的大小关系 ？

③ 如果 10 的算术平方根为 a ，则 a 的整数部分是什么？小数部分又是什么？请说明理由。

解：

① x 的算术平方根也逐渐增大 ；

② 当 0 < n < 1 时 ，√n > n ;

当 n = 1 时 ， √n = n ;

当 n > 1 时 ， √n < n ;

③ a 的整数部分是 3 ， 小数部分是 √10 - 3 。

理由：

∵ 9 < 10 < 16 , ∴ √9 = 3 < √10 = a < √16 = 4 ,

∴ a 的整数部分是 3 ， 小数部分是 a - 3 （即 √10 - 3） 。

例题8

如图所示，BE 与 CD 相交于点 A ，CF 是 ∠BCD 的角平分线，EF 是 ∠BED 的角平分线，试求 ∠F 与 ∠B 、∠D 之间的数量关系，并说明理由 。

解：设 DC 、 EF 相交于点 M ，CF 、BE 相交于点 N ，

则有 ：∠DCF + ∠F = ∠D + ∠DEM ①，

∠F + ∠FEB = ∠B + ∠BCF ②，

① + ②， 得 （∠F +∠F ）+ （∠DCF + ∠FEB）= （∠D + ∠B）+ （∠DEM + ∠BCF） ，

∵ CF 是 ∠BCD 的角平分线，EF 是 ∠BED 的角平分线，

∴ ∠DEM = ∠FEB ， ∠BCF = ∠DCF ，

∴ ∠DCF + ∠FEB = ∠DEM + ∠BCF ，

∴ 2∠F = ∠D + ∠B 。

例题9

已知，用 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车装满货物一次可运货 10 吨 ；用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车装满货物一次可运货 11 吨。某物流公司现有 31 吨货物，计划同时租用 A 型车 a 辆 ， B 型车 b 辆 ，一次运完，且恰好每辆车都装满货物。根据以上信息，请回答下列问题 ：

（1） 1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满货物一次可分别运货多少吨 ；

（2）请你帮该物流公司设计租车方案 ；

（3）若 A 型车每辆租金 100 元/次 ，B 型车每辆需租金 120 元/次 ，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费 。

解：

（1）设 1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满货物一次可分别运货 x 吨 ， y 吨 ，

根据题意得

故1 辆 A 型车和 1 辆 B 型车都装满货物一次可分别运货 3 吨 ， 4 吨 。

（2）根据题意得，3a + 4b = 31 ， 即 b = ( 31 - 3a ) / 4 ,

要使 a , b 都为正整数的情况共有三种情况 ：

① a = 1 , b = 7 ；

② a = 5 , b = 4 ;

③ a = 9 , b = 1 。

故租车方案分别为 ：

① A 型车 1 辆 ， B 型车 7 辆 ；

② A 型车 5 辆 ， B 型车 4 辆 ；

③ A 型车 9 辆 ， B 型车 1 辆 。

（3）设车费为 w 元 ，则 w = 100a + 120b ,

方案 ① 花费为 100 × 1 + 120 × 7 = 940 元 ；

方案 ② 花费为 100 × 5 + 120 × 4 = 980 元 ；

方案 ③ 花费为 100 × 9 + 120 × 1 = 1020 元 。

故方案 ① 最省钱 ，即租用 A 型车 1 辆 ，B 型车 7 辆 时 ，最少租车费为 940 元 。

例题10

已知直线 AB 过点 A（2 ， 1）和点 B ，其中点 B 是另一条直线 y = x + 2 与 y 轴的交点 。

（1）求直线 AB 的表达式 ；

（2）点 P 在直线 AB 上 ，是否存在点 P 使得 △BOP 的面积为 1 ，若存在，写出所有满足条件的点 P 的坐标，若不存在，请说明理由 。

（3）点 P 为直线 AB 上的一个动点 ，当点 P 在线段 AB 之间时，若 S△BOP = 2S△AOP ，求出此时点 P 的坐标 。

解：

（1）设直线 AB 的表达式为 y = kx + b ( k ≠ 0 ) ,

根据题意得 ：A（2 ，1），B（0 ，2），

则有：1 = 2k + b , 2 = b ,

解得 ：k = -1/2 ,

所以直线 AB 的表达式为 y = -1/2 x + 2 .

（2）设点 P 的坐标为 （a , -1/2 a + 2）,

则 S△BOP = 1/2 OB ▪ ∣a∣= 1/2 × 2 ▪ ∣a∣ = ∣a∣ ，

∵ S△BOP = 1 ， ∴ ∣a∣ = 1 ， ∴ a = ±1 ,

∴ P 点的坐标为 （1 ， 3/2）或 （-1，5/2）。

（3）设点 P 的坐标为 （a , -1/2 a + 2）,

∵ S△BOP = 1/2 OB ▪ ∣a∣= 1/2 × 2 ▪ ∣a∣ = ∣a∣，

S△AOP = S△AOB - S△BOP = 2 - ∣a∣ ，

又 ∵ S△BOP =2 S△AOP ，

∴ ∣a∣ =2 ▪ ( 2 - ∣a∣) ，解得 ：a = ±4/3 ，

∵ 点 P 在线段 AB 之间 ， ∴ a = 4/3 ,

∴ P 点的坐标为 （4/3 ，4/3）。