一道法国组合题的解答

本题目选自 2021法语数学奥林匹克  初中组

平面上的所有点都被染成了红色或蓝色之一. 证明以下结论至少有一个成立:
存在两个距离为的红点;
存在四个蓝点, , , , 满足对任意 , , 点 和 的距离为 .

分析与证明: 结论2可以描述为存在共线的连续4点, 其颜色为蓝色, 连续的意思是间距为1.
反设结论不成立.则平面必然存在红点, 否则结论2成立.
取一个红, 以为圆心, 半径为1作一个圆, 则由于结论1不成立, 圆上所有点为蓝点. 取一个圆内接正六边形如图1所示.

以正六边形三组对边扩展为正三角形RST如图2所示. 则R, S, T三点中至少有两个红点, 否则RT, TS, SR中至少有一条边上的4点为连续蓝点. 不妨设T, S为红点, R为蓝点. 延长TR, SR各一个单位到N, M（如图2）,则M, N不能为蓝点, 否则存在连续4个蓝点, 也不能都为红点, 否则MN之间距离为1, 存在两个距离为1的红点. 故R, S, T三点都为红点.

由于一开始所作的圆上都为蓝点, 任意旋转正六边形一个角度, 则产生一个正三角形R’S’T’,由的任意性知道的外接圆上的点都为红色, 这个外接圆上当然存在距离为1的点, 故反设不成立. 两个结论中必有一个成立,得证！