r2(N^x)是增函数

r2(N^x)是增函数，N表示每个大于等于6的偶数，x表示大于等于1的自然数

证明：r2(N^x)是大偶数N^x的（1+1）表法数

r2(N^x)=C(N^x)+2π(N^x)-N^x/2

N^x=2 C(N^x)+4π(N^x)-2 r2(N^x)

当x+1时，则有：

C(N^(x+1))+2π(N^(x+1))-r2(N^(x+1))=N *[C(N^x)+2π(N^x)-r2(N^x)]

当x趋向于无穷大时，

【1】根据奇合数对个数密度定理可知：

limC(N^(x+1))/N^(x+1)=1/2......<1>

x→∞

limC(N^x)/ N^x=1/2.............<2>

x→∞

则：<1>/<2>式得：

limC(N^(x+1))/NC(N^x)=1

x→∞

即：C(N^(x+1)) ~NC(N^x）…………………….（a）

【2】根据素数定理有：

limπ（N^(x+1)）/N^(x+1)/lnN^(x+1)=1........<3>

x→∞

limπ(N^x)/N^x/lnN^x=1...................<4>

x→∞

则<3>/<4>式得：

limπ（N^(x+1)）/Nπ(N^x)=1

x→∞

即：π（N^(x+1)）~Nπ(N^x)…………………(b)

N^(x+1)=N*N^x

N^(x+1)/N*N^x=1

limN^(x+1)/N*N^x=1

x→∞

lim[C(N^(x+1)) +2π(N^(x+1)-r2(N^(x+1))]/N[C(N^x)+2π(N^x)-r2(N^x)]=1

x→∞

lim[N*C(N^x)+2Nπ(N^x)-r2(N^(x+1))]/N[C(N^x)+2π(N^x)-r2(N^x)]=1

x→∞

令W=C(N^x)+2π(N^x),等式左边分子分母同除以-Nr2(N^x)，

lim[r2(N^(x+1))/N*r2(N^x)-W/r2(N^x)]/[1-W/r2(N^x)]=1

x→∞

limr2(N^(x+1))/N*r2(N^x)-limW/r2(N^x)]=1-limW/r2(N^x)

x→∞.............................................x→∞............................x→∞

limr2(N^(x+1))/N*r2(N^x)=1

x→∞

即：r2(N^(x+1))~ N*r2(N^x)≥N，

于是：r2(N^(x+1))>r2(N^x)>1，r2(N^(x+1))≥N

故：r2(N^x)=C(N^x)+2π(N^x)-N^x/2是增函数