三角函数|n个零点问题

2013年上海高考数学理科试卷出现了一道解答题，既出乎意外，又在意料之中，值得同学们认真思考。我把这个题目在这里给大家进行一下解析，希望同学们可以理解。

对于第一个小问以及第二小问求y=g(x)的解析式问题，不难，属于中规中矩的问题，这里不再赘述，重点讲解的是30个零点问题的思考角度。我们很容易得到

g(x)= 2sin[2(x+π/6)]+1= 2sin(2x+π/3)+1，但是在区间[a,b]上至少有30个零点，且求b-a的最小值，对于这个问，大家需要解析出以下几点：其一要理解“y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点”，这里给定了一个区间[a,b],在这个区间内方程g(x)＝0有30个根；其二理解“b-a”，这里指所给区间的宽度；其三理解“b－a的最小值”，这里指最小宽度.

           令g(x)＝0，即sin(2 x+π/3)=-1/2，得

x=kπ-π/4，或x=kπ-7π/12 (k∈Z)，在数轴上g(x)的零点分布如下图所示：

可知g(x)的零点之间的间隔依次为π/3和2π/3，

那么，要求区间[a,b]的最小宽度，首先要从某1个零点算起到恰好第30个零点结束，否则就不是最小宽度了；其次，要从间隔2π/3的两个零点的左边那个零点算起，直到间隔π/3的两个零点的右边那个零点结束，这样才是最小的宽度.

例如从零点-5π/4算起，每相隔2π/3的区间贡献1个零点（算左边的），共14个这样的区间贡献14个零点，接着每相隔π/3的区间贡献1个零点（也算左边的），共14个这样的区间贡献14个零点，此时共有28个零点，最后一个相隔π/3的区间贡献2个零点（左边右边都算在内），于是凑齐了30个零点.

 再计算区间[a,b]的宽度为：14×2π/3+15×π/3＝43π/3.

比如说，我们给一个例子，大家可以思考一下

在上图中，在E,F点之间含4个零点，

F-E=(4/2)*π/3+(4-2)/2*2π/3=4π/3

类似的题目还有很多，大家可以思考以下几个题目。

例1

例2

例3

【原创】将f(x)=2sin2x的图像向右平移π/6个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g(x)的图像，若函数y=g(x)在区间（a,b）上含有20个零点，则b-a的最大值为多少？

tips：大家先认真思考，后期我会给出详细答案解析的。