初二奥数精讲——第7讲 根式（一）

一、知识点解析

根式是代数式的重要组成部分。根式的性质和有关结论是进行运算和代数式恒等变形的基础，因此，要牢固掌握分式的性质和相关结论，让我们来开始学习吧。

1. 基本知识

2. 基本方法

（1）分母或分子有理化：将分式的分子分母同时乘以分子或分母的共轭根式，使分子或分母化为有理式。

（2）不等式控制：先根据代数式的意义，求出字母的变化范围，再将根式简化。

（3）平方法：对于含有二次根式

的等式，可将含与不含根式的项分别放在等式的两边，然后两边（多次）平方，将根号去掉。

（4）化同次根式：对于含有多个根式的问题，可将它们的根指数化得相同。

3. 基本问题

（1）单重根式的化简与计算：利用根式、分式、比例的基本性质进行变形或运算，或建立方程求值，最后结果要使分母不含根号。

（2）双重根式的化简与计算：利用公式直接化简，或者利用配方法去根号，或者用待定系数法。

（3）含有根式系数的代数式求值：通常采用带余除法，而当字母取值含有根式时，应通过恒等变形，建立字母满足的方程，然后利用整体求值。

（4）含有根式的和式化简与计算，通常采用差分法或者分解因数进行约简。

（5）比较大小有作差、作商比较，与中间值比较，平方、取倒数、分子有理化之后再比较。

这部分主要考察学生的对根式的了解及掌握。根式是代数式的重要组成部分。根式的性质和有关结论是进行运算和代数式恒等变形的基础，这部分题型种类繁多，要在扎实的基础知识基础上，认真学习，多加练习，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1

化简：

分析：直接计算，分母不易有理化。观察注意到分子分母的特殊关系，从而宜将原式先取倒数再求值。

解答：

例2

化简：

分析：直接分母有理化化简会很麻烦，观察分子的构成，往分母的形式上靠近。

解答：

例3

化简：

例4

化简：

例5

化简：