第20讲 期末专题复习5 《幂的运算 整式乘法》易错题整理
一、幂的运算的常考常错题
例1：(1)a3＋a3 (2)a3·a3
分析：这两题是一些同学经常容易混淆的，前者是加法，我们并没有讲过同底数幂的加法，但由于字母相同，相同字母的指数也相同，因此是合并同类项，系数相加，字母及指数不变．而后者才是同底数幂的乘法，底数不变，指数相加．
解答：(1)a3＋a3＝2a3
(2)a3·a3＝a6
例2：(1) (－a3)2 (2) (－a2)3
分析：这两题的符号是同学们最容易出错的，我们不妨这样理解，不管a的正负性，就将括号内的底数看作是负数，根据负数的奇次幂为负，偶次幂为正，确定符号．
解答：(1) (－a3)2 ＝ a6
(2) (－a2)3 ＝－a6
例3： (－a－b)5÷(a＋b)
错解：＝ (a＋b)5÷(a＋b)
＝ (a＋b)4
＝ a4＋b4
分析：造成错解的原因，第一，没有按照互为相反数的奇次幂互为相反数来解题，第二，画蛇添足，多项式(a＋b) n，当n≥3时，初一没有展开的要求，具体展开方式，可以自学杨辉三角，或者高二数学《二项式定理》内容．
解答：＝ [－(a＋b)]5÷(a＋b)
＝ －(a＋b)5÷(a＋b)
＝ －(a＋b)5－1
＝ －(a＋b)4
分析：这两题属于基本题，却经常有同学做错．前者经常有同学会直接无视指数中的负号，另外教科书中，对于非零数的负整指数幂的计算法则是这么规定的：
即一个非零数的－n(n是正整数)次幂，等于这个数倒数的正n次幂．对于科学记数法，依旧写成a×10n(1＜a≤10)形式，对于小于1的数，指数为负，原数左边第一个不是0的数字前共有几个0，写成科学记数法后，指数就是负几．
二、幂的运算逆运算问题
例5：am＝6，an＝3，求：am＋2n， a2m－3n
分析：解决这类问题，我们要逆用幂的运算法则，同时，遵循一个重要的原则：幂的运算，总比指数运算高一级．指数上最后是加法，幂的运算必然是乘法，指数上是减法，幂的运算必然是除法，指数上是乘法，幂的运算必为乘方．
例6：若x＋2y－3＝0，则2x·4y＝____
分析：本题中，要求的两个幂的乘积，底数不同，因此第一步要换底，由4换成以2为底．
解答：2x·4y
＝2x·22y
＝2x＋2y
＝23＝8
例7：9n＋1 － 32n＝72，求n
分析：本题依旧要换底，但是，显然换成以9为底更合适，最后一步幂的运算是减法，则想到应该要考虑合并同类项，逆用同底数幂的乘法．
解答：9n＋1 － 32n
＝9n＋1 － 9n
＝9·9n － 9n
＝8·9n
＝72，
∴n＝1．
三、整式乘法的系数问题
例8：若－(2x)3(x2－ax＋3)的计算结果中，x的四次项系数为8，求a的值．
分析：本题若直接计算，则展开三项，如果我们发现，这里的四次项是由前面的三次单项式与多项式中的一次项相乘，那么，就只需乘一次即可．但一定要注意，带符号运算．
解答：－(2x)3(－ax)
＝－8x3(－ax)
＝8ax4，
∴8a＝8，a＝1
例9：若多项式x2＋mx＋8与多项式x2－3x＋n相乘的积中，不含x2，x3项，求mn
分析：同上一题类似，我们要考虑x2项是怎么来的，应该是一次项×一次项，二次项×常数项，而x3项呢，应该是一次项×二次项，三次项×常数项，在解题时，我们可以尝试用箭头连接需要的两项，避免出错．而不含这些项，说明系数为0.
四、完全平方公式知二推二问题
完全平方公式是初一阶段的一个重点，它可以考查配方，可以考查简便运算，而且又是与初三二次函数的基础．我们将完全平方公式进行解剖，可以得到四个重要的代数式，而且，我们只要知道其中的两个，就能推出另外两个．即知二推二．
例10：若a－b＝1，ab＝2，求a＋b
分析：我们的知二推二中，知道的都是二次项，而给出的a－b是一次项，因此，要想到先去完全平方．
解答：(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
＝1＋8＝9
∴a＋b＝±3
写在后面：因为临近期末，所以本讲不再设置练习，下一讲开始，我们开设五讲期末冲刺练习，每讲五道题，认真分析，希望对同学们的期末有帮助！
附第19讲练习及答案：
1.因式分解：
(1) x(x－y)2－2(y－x)3
＝ x(x－y)2＋2(x－y)3
＝ (x－y)2[x＋2(x－y)]
＝ (x－y)2(3x－2y)
(2) 81x4－1
＝(9x2＋1)(9x2－1)
＝(9x2＋1) (3x＋1) (3x－1)
(3) x4－8x2y2＋16y4
＝(x2－4y2)2
＝(x＋2y)2(x－2y)2
2.当a＝____时，－3a2＋12a＋17有最____值是______.
解：－3a2＋12a＋17
＝－3(a2－4a＋4－4)＋17
＝－3(a－2)2＋29
当a＝2时，代数式有最大值为29.