如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求证：AD=BD；
（2）求CD的长．
考点：圆周角定理,等腰直角三角形
专题：计算题
分析：（1）由角平分线定义得∠ACD=∠BCD，则根据圆周角定理得弧AD=弧BD，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到AD=BD；
（2）作CH⊥AB于H，连接OD，CD与AB交于E点，如图，先根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠ACB=∠ADB=90°，易判断△ABD为等腰直角三角形，则OD⊥AB，再证明Rt△ACH∽Rt△ABC，利用相似比计算出AH=
，则OH=OA-AH=
，于是在Rt△ACH中利用勾股定理可计算出CH=
，然后证明△CHE∽△DOE，
利用相似比可得到HE=
OE，CE=
DE，则利用HE+OE=
可计算出OE=
，接着在Rt△ODE中，根据勾股定理计算出DE=
，则CE=
，最后计算DE与CE的和即可．
解答：（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴弧AD=弧BD，
∴AD=BD；
（2）解：作CH⊥AB于H，连接OD，CD与AB交于E点，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∵AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴OD⊥AB，
∵∠CAH=∠BAC，
∴Rt△ACH∽Rt△ABC，
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质．
